An introduction to map enumeration Notes

1 Chapter 1: The oral tradition 3 1.1 Topological disclaimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Surfaces and graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Maps: three (four?) definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 As embedded graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 As polygons gluings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 As graphs with rotation systems at vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.4 As systems of permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Euler’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Examples: one-face maps, planar maps, Catalan trees . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.1 Planar maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.2 One-face maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.3 Plane trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Tutte’s quadrangulation bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10